Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas

Para este tipo de ecuaciones utilizaremos la regla de Sarrus para obtener el determinante del numerador y del denominador de cada una de las incógnitas. Para el sistema de ecuaciones:

ax + by + cz = d ex + f y + gz = h ix  + jy + kz  = l

a   b   c   d e   f    g   h i    j    k   l

Ahora se obtienen las incógnitas:



Primero obtenemos el determinante del denominador de "x", ya que es el mismo de las 3 incógnitas, para eso usaremos la regla de Sarrus.
Se coloca el denominador y abajo de la tercera fila se añaden las 2 primeras filas y se trazan 3 diagonales de izquierda a derecha y de derecha a izquierda, así:

Los valores unidos por cada una de las diagonales se multiplican, luego se define el determinante de la siguiente manera:

afj + eic + hbg - cfh - gia - jbe

Ahora el numerador de "x".

 bfk + hjc + ldg - cfl - gjb - kdh

Entonces x = (bfk + hjc + ldg - cl - gjb - kdh) / (afj + eic + hbg - cfh - gia - jbe)

Para y, sería de la misma manera. Efectuamos el numerador:

ahk + elc + idg - chi - gla - kde

Entonces y = (ahk + elc + idg - chi - gla - kde) / (afj + eic + hbg - cfh - gia - jbe)

Para el numerador de z:

afl + ejd + ibh - dfi - hja - lbe

 Entonces z = (afl + ejd + ibh - dfi - hja - lbe) / (afj + eic + hbg - cfh - gia - jbe)

Nota: Si el denominador es 0 entonces las ecuaciones no tienen solución, porque un número no puede ser dividido por 0.