Lenguaje de Primer Orden

Considerándose las siguientes expresiones :
" x es más grande que 3" (7, 2, 5, 9, 0, ...)
" x es médico" (Santiago, Pedro, Luis, Mario, Juan,...)
" x es el mejor equipo del mundo" (Barcelona, Real Madrid,Valencia,...)

Aspectos importantes previos para resolver los ejercicios.

1. x es una variable la cual indica que el sujeto o término cumple cierta propiedad.
2. El predicado "es más grande que 3", "es médico", “es el mejor equipo del mundo”, se refiere a la propiedad que el sujeto tiene sobre la acción.
3. La expresión no puede considerarse como una proposición puesto que no son ni verdadera ni falsa.
4. x es una variable que toma valores dentro de un conjunto, llamado conjunto dominio (Universo del discurso).
5. Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias variables, reciben el nombre de Funciones Proposicionales, y se denotan por P(x) o Q(x), ..., etc.
6. Cuando en una Función Proposicional se sustituyen las variables por constantes individuales o términos específicos, se convierte en proposición.
7. Se utilizan las letras x, y, z, w, ...,para denotar las variables.
8. Se pueden tener expresiones que envuelvan más de una variable "x = y + 3", entonces podemos tener expresiones como Q(x,y)

• Q(x, y) : " x = y + 3"
• P(x, y, z) : "x = y + z"
• Una expresión de con n variables x1, x2, ..., xn puede ser denotada por P(x1, x2, x3, ..., xn).

La funciones proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones proposicionales por medio de los conectivos.
Ejemplo: "x es un número racional y z es un número irracional". Se puede simbolizar como:

• P(x) : "x es un número racional"
• Q(z) : "z es un número racional".
• P(x) ^ Q(z)

Definición : Un Predicado es una afirmación, proposición, constituido por constantes aritméticas y booleanas (números enteros, reales, y los valores lógicos verdadero y falso), operadores aritméticos, (/,*, +, etc), operadores relacionales (>,<, = , >=, etc), operadores lógicos ( ^, →, V, etc).

Desafío: Simbolizar las siguientes expresiones.

• Fulano es muy generoso.

Variable: Fulano "f".
Propiedad: Es muy generoso "G".
Entonces: G(f).

• x es par y 6 también.

Variable: "x, 6".
Propiedad: Son pares "P".
Entonces: P(x,6).

• x e y son impares.

Variable: "x, y".
Propiedad: Son impares "I".
Entonces: I(x,y).

• 2 es un número par y primo.

Variable: 2.
Propiedades: Es un número par "P"
                     y
                     Es un número primo "Q".
Entonces: P(2) ^ Q(2)

• x es primo impar menor que 10.

Variable: x.
Propiedad: Es primo impar "P".
Menor que 10.
Entonces: P(x) < 10
O mejor aún P(3,5,7) < 10 considerando que 3,5 y 7 son primos impares menores que 10
 

• x divide a z y w. 

P(x): z/x
y    
Q(x): w/x
Con las expresiones anteriores se deduce P(x) ^ Q(x).